Transformasi geometri adalah bagian penting dari matematika yang mempelajari perubahan posisi, ukuran, atau bentuk suatu objek. Dalam kelas 11 semester 4, konsep ini biasanya diperdalam dengan fokus pada jenis-jenis transformasi seperti translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perbesaran/pengecilan). Memahami transformasi geometri sangat penting karena aplikasinya luas, mulai dari desain grafis, animasi, hingga bidang teknik dan fisika.
Artikel ini akan membahas contoh-contoh soal transformasi geometri beserta pembahasannya secara mendalam. Dengan memahami contoh-contoh ini, diharapkan siswa dapat lebih menguasai konsep transformasi geometri dan mampu menyelesaikan berbagai permasalahan terkait.
I. Translasi (Pergeseran)
Translasi adalah transformasi yang memindahkan setiap titik suatu objek sejauh vektor tertentu. Jika titik P(x, y) ditranslasikan oleh vektor T(a, b), maka bayangan titik P’ adalah P'(x + a, y + b).
Contoh Soal 1:
Titik A(3, -2) ditranslasikan oleh vektor T(-1, 4). Tentukan koordinat bayangan titik A!
Pembahasan:
Diketahui:
- Titik A(3, -2)
- Vektor translasi T(-1, 4)
Maka, bayangan titik A’ dapat dicari dengan:
- x’ = x + a = 3 + (-1) = 2
- y’ = y + b = -2 + 4 = 2
Jadi, koordinat bayangan titik A adalah A'(2, 2).
Contoh Soal 2:
Sebuah garis dengan persamaan y = 2x + 1 ditranslasikan oleh vektor T(2, -3). Tentukan persamaan bayangan garis tersebut!
Pembahasan:
Misalkan titik (x, y) terletak pada garis y = 2x + 1. Setelah ditranslasikan oleh T(2, -3), titik tersebut menjadi (x’, y’) dengan hubungan:
- x’ = x + 2 => x = x’ – 2
- y’ = y – 3 => y = y’ + 3
Substitusikan x dan y ke persamaan garis awal:
y’ + 3 = 2(x’ – 2) + 1
y’ + 3 = 2x’ – 4 + 1
y’ = 2x’ – 6
Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah y = 2x – 6.
II. Refleksi (Pencerminan)
Refleksi adalah transformasi yang memetakan setiap titik suatu objek ke titik simetrisnya terhadap suatu garis (sumbu refleksi) atau titik (pusat refleksi).
- Refleksi terhadap sumbu X: (x, y) -> (x, -y)
- Refleksi terhadap sumbu Y: (x, y) -> (-x, y)
- Refleksi terhadap garis y = x: (x, y) -> (y, x)
- Refleksi terhadap garis y = -x: (x, y) -> (-y, -x)
- Refleksi terhadap titik asal (0, 0): (x, y) -> (-x, -y)
Contoh Soal 3:
Titik B(-4, 5) direfleksikan terhadap sumbu Y. Tentukan koordinat bayangan titik B!
Pembahasan:
Refleksi terhadap sumbu Y mengubah tanda koordinat x.
Jadi, B'(-(-4), 5) = B'(4, 5).
Contoh Soal 4:
Garis dengan persamaan 3x – 2y + 5 = 0 direfleksikan terhadap garis y = x. Tentukan persamaan bayangan garis tersebut!
Pembahasan:
Refleksi terhadap garis y = x menukar koordinat x dan y. Jadi, x’ = y dan y’ = x. Maka:
- x = y’
- y = x’
Substitusikan x dan y ke persamaan garis awal:
3y’ – 2x’ + 5 = 0
-2x’ + 3y’ + 5 = 0
2x’ – 3y’ – 5 = 0
Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah 2x – 3y – 5 = 0.
III. Rotasi (Perputaran)
Rotasi adalah transformasi yang memutar setiap titik suatu objek terhadap suatu titik pusat dengan sudut tertentu.
- Rotasi sebesar 90° searah jarum jam (pusat O(0,0)): (x, y) -> (y, -x)
- Rotasi sebesar 90° berlawanan arah jarum jam (pusat O(0,0)): (x, y) -> (-y, x)
- Rotasi sebesar 180° (pusat O(0,0)): (x, y) -> (-x, -y)
Contoh Soal 5:
Titik C(2, -3) dirotasikan sebesar 90° berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0,0). Tentukan koordinat bayangan titik C!
Pembahasan:
Rotasi 90° berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0,0) mengubah (x, y) menjadi (-y, x).
Jadi, C'(-(-3), 2) = C'(3, 2).
Contoh Soal 6:
Sebuah lingkaran dengan persamaan (x – 1)² + (y + 2)² = 4 dirotasikan sebesar 180° dengan pusat O(0,0). Tentukan persamaan bayangan lingkaran tersebut!
Pembahasan:
Rotasi 180° dengan pusat O(0,0) mengubah (x, y) menjadi (-x, -y). Jadi, x’ = -x dan y’ = -y. Maka:
- x = -x’
- y = -y’
Substitusikan x dan y ke persamaan lingkaran awal:
(-x’ – 1)² + (-y’ + 2)² = 4
(x’ + 1)² + (y’ – 2)² = 4
Jadi, persamaan bayangan lingkaran tersebut adalah (x + 1)² + (y – 2)² = 4.
IV. Dilatasi (Perbesaran/Pengecilan)
Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran suatu objek tanpa mengubah bentuknya. Dilatasi ditentukan oleh pusat dilatasi dan faktor skala (k). Jika k > 1, maka terjadi perbesaran. Jika 0 < k < 1, maka terjadi pengecilan. Jika k < 0, maka terjadi perbesaran/pengecilan dan refleksi terhadap pusat dilatasi.
- Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k: (x, y) -> (kx, ky)
Contoh Soal 7:
Titik D(4, 2) didilatasikan dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 2. Tentukan koordinat bayangan titik D!
Pembahasan:
Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 2 mengubah (x, y) menjadi (2x, 2y).
Jadi, D'(2 4, 2 2) = D'(8, 4).
Contoh Soal 8:
Sebuah segitiga dengan titik sudut A(1, 1), B(3, 1), dan C(1, 3) didilatasikan dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 1/2. Tentukan luas segitiga bayangan!
Pembahasan:
Setelah dilatasi, titik-titik sudut segitiga menjadi:
- A'(1/2, 1/2)
- B'(3/2, 1/2)
- C'(1/2, 3/2)
Luas segitiga ABC adalah 1/2 alas tinggi = 1/2 2 2 = 2 satuan luas.
Luas segitiga A’B’C’ adalah 1/2 alas tinggi = 1/2 1 1 = 1/2 satuan luas.
Perhatikan bahwa luas segitiga bayangan adalah (1/2)² = 1/4 kali luas segitiga awal. Secara umum, jika suatu bangun didilatasikan dengan faktor skala k, maka luas bangun bayangan adalah k² kali luas bangun awal.
Kesimpulan:
Memahami konsep dan rumus-rumus dasar dari translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi sangat penting untuk menyelesaikan soal-soal transformasi geometri. Selain itu, kemampuan untuk mengaplikasikan konsep-konsep tersebut dalam berbagai konteks, seperti mencari persamaan bayangan garis atau kurva, menghitung luas bangun bayangan, juga merupakan kunci keberhasilan. Dengan berlatih secara rutin dan memahami contoh-contoh soal yang telah dibahas, siswa diharapkan dapat lebih menguasai materi transformasi geometri dan siap menghadapi ujian. Jangan lupa untuk selalu memperhatikan pusat transformasi dan faktor skala yang diberikan dalam soal agar tidak terjadi kesalahan dalam perhitungan. Selamat belajar!
